Tất cả những kiến thức liên quan đến đường tròn đều là những kiến thức rất quan trọng và cần phải nắm vững. Bài viết này của Gocbao sẽ giải đáp thắc mắc của bạn về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì nhé!
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?
Đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?
Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn mà đi qua ba đỉnh của một hình tam giác. Trong trường hợp này, hình tam giác sẽ nội tiếp hình tròn.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn mà có tâm là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của hai hoặc ba đường trung trực của tam giác đó. Hay nói cách khác là giao điểm của các đường trung trực của một tam giác chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Sau khi đã hiểu rõ về tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì thì hãy cùng Gocbao tìm hiểu về những tính chất của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì nhé!
Tính chất tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác có những tính chất như sau:
Mỗi một hình tam giác thì chỉ có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp.Tâm của đường tròn ngoại tiếp chính là giao điểm của hai hoặc ba đường trung trực của tam giác.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông chính là trung điểm của cạnh huyền.Tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác sẽ trùng nhau nếu trong một tam giác đều.
Xem thêm:
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì? Khái niệmTính chất tứ giác nội tiếp? Các dạng bài tập về tính chất nội tiếpSự xác định đường tròn – tính chất đối xứng của đường tròn
Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Muốn xác định được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì các bạn phải nhớ rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác chính là giao điểm của hai hoặc ba đường trung trực của tam giác đó.
Có hai cách để xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:
Cách 1:
Bước 1: Viết phương trình của đường trung trực hai cạnh bất kỳ của một tam giác.
Bước 2: Tìm được giao điểm hai đường trung trực. Giao điểm của các đường trung trực chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Cách 2:
Bước 1: Gọi I (x, y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có IA = IB = IC = R (trong đó R là bán kính).
Bước 2: Tìm được tọa độ của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Tọa độ tâm I là nghiệm của phương trình:
IA^2=IB^2
IA^2=IC^2
Bán kính tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Bán kính tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Trong một tam giác ABC nội tiếp đường tròn có các cạnh lần lượt là a,b,c. Chúng ta có công thức tính bán kính tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cho diện tích là S như sau:
R = (a x b x c) / 4S
Trong đó:
R là bán kính tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
a,b,c là cạnh của hình tam giác.
S là diện tích tam giác.
Bán kính tâm đường tròn ngoại tiếp góc A
Công thức tính bán kính tâm đường tròn ngoại tiếp góc A như sau:
Trong đó:
a,b,c là các cạnh của tam giác nội tiếp đường tròn.
S là diện tích tam giác.
p là chu vi
Bán kính tâm đường tròn ngoại tiếp góc B
Công thức tính bán kính tâm đường tròn ngoại tiếp góc B như sau:
Trong đó:
a,b,c là các cạnh của một tam giác.
S là diện tích tam giác.
p là chu vi.
Bán kính tâm đường tròn ngoại tiếp góc C
Công thức tính bán kính tâm đường tròn ngoại tiếp góc C như sau:
Trong đó:
a,b,c là các cạnh của một tam giác.
S là diện tích tam giác.
p là chu vi.
Bán kính tâm đường tròn tam giác đều
Công thức tính bán kính tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều như sau:
R = a / (2 x sin60 độ)
Trong đó:
a là độ dài các cạnh của tam giác đều.
Bài tập về đường tròn ngoại tiếp tam giác
Dạng 1: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh
Ví dụ: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác A, B, C biết A(-1;2); B(6;1); C(-2;5)
Cách giải của dạng này như sau:
Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp có dạng:
Vì các đỉnh A, B, C cùng nằm trong một đường tròn nên thay tọa độ A, B, C lần lượt vào phương trình đường tròn (C) ta được hệ phương trình như sau:
Vì vậy, phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I (3;5) bán kính R = 5 là:
Dạng 2: Tìm tâm của đường tròn ngoại tiếp khi biết tọa độ ba đỉnh
Ví dụ: Cho tam giác ABC với các tọa độ lần lượt là A(1;2), B(-1;0), C(3;2). Tìm tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?
Cách giải của dạng toán này như sau:
Gọi I(x;y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên:
Vậy tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là I(2;-1)
Dạng 3: Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Ví dụ: Tam giác ABC có cạnh AB = 3, AC = 7, BC = 8. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?
Cách giải của dạng toán này như sau:
Ta có:
Áp dụng công thức Herong ta có:
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là:
Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho tam giác MNP vuông tại N, và MN = 6cm, NP = 8cm. Xác định bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bằng bao nhiêu?
Trả lời:
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ta có:
PQ = 1/2 MP => NQ = QM = QP = 5cm.
Gọi D là trung điểm của đoạn thẳng MP
=> ∆MNP vuông tại N, có NQ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền MP.
=> Q là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNP.
Vậy đường tròn ngoại tiếp ∆MNP có tâm Q của cạnh huyền MP và bán kính R = MQ = 5cm.
Bài tập 2: Cho tam giác ABC đều với cạnh bằng 6cm. Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?
Trả lời:
Gọi D, E lần lượt là trung điểm của cạnh BC, AB. Ta có AD giao với CE tại O.
Ta có: Tam giác ABC là tam giác đều
=> Đường trung tuyến cũng là đường cao, đường phân giác và là đường trung trực của tam giác.
Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
∆ABC có CE là đường trung tuyến
=> CE cũng là đường cao.
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AEC có:
CE2 = AC2 – AE2 = 62 – 32 = 27 => CE =3√3cm.
Ta có: O là trọng tâm của tam giác ABC
=> CO = 2/3 CE = (2/3)3√3 = 2√3cm.
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trọng tâm O và bán kính là OC = 2√3cm
Bài tập 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác AEHF là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
Trả lời:
Gọi I là trung điểm của AH
Ta có HF vuông góc với AF
=> tam giác AFH vuông tại F
I là trung điểm của cạnh huyền AH
=> IA = IF = IH (1)
Lại có HE vuông góc với AE
=> tam giác AEH vuông tại E
I là trung điểm của cạnh huyền AH
=> IA = IE = IH (2)
Từ (1) và (2) ta có IA = IF = IH = IE
Vậy tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn có tâm I là trung điểm của AH.
Trên đây là toàn bộ thông tin liên quan đến kiến thức tâm đường tròn nội tiếp tam giác là gì. Hy vọng bài viết này đã giải đáp được những thắc mắc của bạn. Hãy theo dõi Gocbao mỗi ngày để biết thêm nhiều thông tin hay và bổ ích nhé!
