Tổng hợp kiến thức cơ bản về tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau một cách đầy đủ nhất. Cùng Gocbao điểm qua các công thức và cách làm các dạng toán thường gặp này nhé!
Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
Định lý về tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
Điểm đó cách đều 2 tiếp điểm.Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.
Nghĩa là cho đường tròn (O), B, C∈(O). Tiếp tuyến của (O) tại B,C cắt nhau tại A.
Khi đó
AB=AC.Tia OC là phân giác góc BOC.Tia AO là phân giác góc BAC.
Chứng minh tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
Muốn chứng minh tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, trước tiên. Chúng ta hãy kẻ bảng giải thiết và kết luận để lắm rõ yêu cầu đề bài.
Gọi BA, CA theo thứ tự là các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O). Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AB vuông OB tại B và AC vuông OC tại C.
Xét tam giác OAB và tam giác OAC có:
OB = OCGóc ABO = Góc ACO = 90AO là cạnh chung
Do đó, tam giác OAB = tam giác OAC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Suy ra:
Góc A1 =A2 (2 góc tương ứng)Góc O1= O2 (2 góc tương ứng)AB= AC suy ra A thuộc đường trung thực của đoạn BCMà OB=OC suy ra O thuộc đường trung trực của đoạn BC
Kết luận OA là đường trung trực của đoạn BC
Đường tròn nội tiếp tam giác
Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác. Còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn. Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác.
Đường tròn bàng tiếp tam giác
Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C. Hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác góc ngoài tại B (hoặc C). Với một tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp.
Các dạng bài toán thường gặp về tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
Dạng 1: Chứng minh các đường thẳng song song (vuông góc), chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.
Phương pháp: Dùng tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.
Dạng 2: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến, tính độ dài, số đo góc và các yếu tố khác.
Phương pháp:
Dùng định nghĩa tiếp tuyến; tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.Dùng khái niệm đường tròn nội tiếp, bàng tiếp.Dùng hệ thức lượng về cạnh và góc trong tam giác vuông.
Bài tập liên quan đến tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
Sau khi ôn lại kiến thức về định nghĩa và tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau. Thì cùng Gocbao củng cố lại kiến thức qua một số bài tập minh hoạ về tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ngay nhé!
Giải bài 26 trang 115 – SGK Toán lớp 9 tập 1
Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng OA vuông góc với BC.
b) Vẽ đường kính CD. Chứng minh rằng BD song song với AO.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC; biết OB=2cm, OA=4cm.
Lời giải:
a) Ta có: AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau). Nên ΔABC cân tại A.
Lại có AO là tia phân giác của góc A nên AO ⊥ BC. (Trong tam giác cân, đường phân giác cũng là đường cao)
b) Gọi I là giao điểm của AO và BC. Suy ra BI = IC (đường kính vuông góc với một dây).
Xét ΔCBD có:
CI = IB
CO = OD (bán kính)
⇒ BD // HO (HO là đường trung bình của BCD) ⇒ BD // AO.
c) Theo định lí Pitago trong tam giác vuông OAC:
Giải bài 27 trang 115 – SGK Toán lớp 9 tập 1
Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E. Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB.
Lời giải:
Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
DM = DB, EM = EC, AB = AC
Chu vi ΔADE:
Chu vi ΔADE = AD + DE + AE = AD + DM + ME + AE = AD + DB + EC + AE = AB + AC = 2AB (đpcm)
Giải bài 28 trang 116 – SGK Toán lớp 9 tập 1
Cho góc xAy khác góc bẹt. Tâm của các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên đường nào?
Lời giải:
Gọi O là tâm của một đường tròn bất kì tiếp xúc với hai cạnh góc xAy. Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: góc xOA = góc yOA.
Hay AO là tia phân giác của góc xAy.
Vậy tâm các đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xAy nằm trên tia phân giác của góc xAy.
Giải bài 29 trang 116 – SGK Toán lớp 9 tập 1
Cho góc xAy khác góc bẹt, điểm B thuộc tia Ax. Hãy dựng đường tròn (O) tiếp xúc với Ax tại B và tiếp xúc với Ay.
Lời giải:
Đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax và Ay nên tâm O của (O) nằm trên tia phân giác của góc xAy. Do đó ta có cách dựng:
Dựng tia phân giác At của góc xAy.Dựng đường thẳng Bz qua B và vuông góc với tia Ax.Giao điểm O của At và Bz là tâm của đường tròn cần dựng.Dựng đường tròn tâm O, bán kính R = OB, ta được đường tròn cần dựng.
Hy vọng bài viết giúp các bạn hiểu được tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau và một số bài tập SGK Toán 9. Đừng quên share và follow bài viết để Gocbao có thêm động lực chia sẻ kiến thức nữa nhé.
